Лінійне канонічне перетворення (, LCT) — сімейство лінійних інтегральних перетворень, яке узагальнює низку поширених перетворень, зокрема перетворення Фур'є, дробове перетворення Фур'є та перетворення Лапласа.
Для сигналу однієї змінної LCT можна геометрично розглядати як перетворення часово-частотної площини. Воно змінює координати «час — частота» лінійним чином, поєднуючи обертання, масштабування та зсув координат. Таке перетворення задається матрицею
де умова забезпечує збереження площі у фазовому просторі. Тому матриця має три незалежні параметри. Кожному такому перетворенню координат відповідає певне інтегральне перетворення самого сигналу.
Наприклад, дробове перетворення Фур'є відповідає обертанню часово-частотної площини, а перетворення Френеля та множення на чирп — її зсувам типу shear. Таким чином LCT дає спільну математичну мову для опису широкого класу перетворень, що використовуються в обробці сигналів та оптиці.
Визначення Лінійне канонічне перетворення можна представити кількома способами; найпростішеde Bruijn, N. G. (1973). "A theory of generalized functions, with applications to Wigner distribution and Weyl correspondence", Nieuw Arch. Wiskd., III. Ser., 21, 205–280. його можна параметризувати матрицею 2×2 з визначником 1, тобто елементом спеціальної лінійної групи SL2(C). Для будь-якої такої матриці ad − bc = 1, відповідне інтегральне перетворення функції у визначається як
Часткові випадки
Багато класичних інтегральних перетворень є частковими випадками лінійного канонічного перетворення.
Масштабування
Масштабування функції
відповідає взаємно оберненому масштабуванню часової та частотної координат: зі стисканням сигналу в часі його частоти пропорційно збільшуються. Відповідна матриця має вигляд
Перетворення Фур'є
Перетворення Фур'є відповідає повороту часово-частотної площини за годинниковою стрілкою на 90° і задається матрицею
Дробове перетворення Фур'є
Дробове перетворення Фур'є відповідає повороту часово-частотної площини на довільний кут . Відповідні матриці
є еліптичними елементами групи . Звичайне перетворення Фур'є отримують при , а обернене перетворення Фур'є — при .
Перетворення Френеля
Перетворення Френеля відповідає деформації зсуву () часово-частотної площини та задається матрицею
де — відстань поширення, а — довжина хвилі. Такі матриці є параболічними елементами .
Перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа можна розглядати як поворот на 90° у комплексній області. Воно відповідає матриці
Дробове перетворення Лапласа
Дробове перетворення Лапласа узагальнює перетворення Лапласа аналогічно до того, як дробове перетворення Фур'є узагальнює звичайне перетворення Фур'є. Воно відповідає повороту на довільний кут у комплексній області та може бути представлене матрицею
При отримують звичайне перетворення Лапласа, а при — обернене перетворення Лапласа.
Множення на чирп
Множення функції на чирп, тобто
є ще одним частковим випадком LCT. Воно відповідає та і задається матрицею
Використання
Лінійне канонічне перетворення використовують як узагальнений математичний апарат у задачах, де природно виникають перетворення Фур'є, дробове перетворення Фур'є, поширення Френеля, масштабування та квадратично-фазові перетворення. Завдяки матричному представленню послідовність таких операцій можна описувати як композицію відповідних лінійних канонічних перетворень.
Однією з основних областей застосування LCT є Фур'є-оптика: ним описують параксіальне поширення хвиль через оптичні системи першого порядку та системи з квадратичною фазою. LCT також застосовують в обробці сигналів і зображень, зокрема для фільтрації та дискретизації, а також для моделювання й аналізу систем цифрової голографії, відновлення фази, оптичного шифрування та квантової оптики.
Примітки