Метод Фур'є - один з основних методів розв'язування диференціальних рівнянь з частинними похідними. І незважаючи на те, що він доволі громіздкий його знання в будь-якому разі необхідне щоб здати СРП.
Рівняння гіперболічного типу На прикладі задачі про вільні коливання струни, кінці якої жорстко закріплені.
Ця умова означає, що на струну не діють зовнішні сили, і вона рухається під дією власної сили натягу, яка з'явилась через початкове відхилення, та початкової швидкості. Кінці не рухаються. В рівняннях це означає:
вільні коливання
початкове положення та швидкість
закріплені кінці.
Відокремлення змінних Спочатку шукаємо частинні розв'язки рівняння , які нерівні тотожньо нулеві, і задовольняють умови , у вигляді:
Через формулу метод назвали методом відокремлення змінних. Ця формула - один з ключових моментів.
Підставляємо в , і отримуємо
Ділимо обидві частини на , дістанемо
Для того, щоб функція була розв'язком рівняння рівність повинна задовольнятися тотожно, тобто для всіх значень незалежних змінних . Права частина рівності є функцією тільки змінної t, а ліва - тільки x. Фіксуючи деяке значення x, і змінюючи t (або навпаки), дістанемо, що права і ліва частини рівності при зміні своїх аргументів зберігають стале значення.
де - стала, яка для зручності вибирається зі знаком "мінус", при цьому нічого не припускається про її знак.
Із співвідношення дістаємо рівняння для визначення функцій , та :
Крайові умови дають:
Звідси випливає, що , бо інакше було б
але ж задача полягає у знаходженні нетривіальних розв'язків.
Таким чином для функції одержали так звану задачу Штурма-Ліувілля (задачу про власні значення): знайти ті значення параметра , при яких існують нетривіальні розв'язки задачі:
а також знайти ці розв'язки. Такі значення параметра називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні розв'язки - власними функціями задачі .
Розглянемо окремо випадки, коли параметр від'ємний, дорівнює нулю, або додатній.
Випадок Загальний розв'язок рівняння має вигляд
Крайові умови дають
тобто і . Але в розглянутому вище випадку - дійсне і додатне, а тому Тому і . Отже, і, значить в цьому випадку задача не має нетривіальних розв'язків.
Випадок В цьому випадку загальний розв'язок рівняння має вигляд:
Крайові умови дають
тобто . Отже, , і значить , тобто також не існує нетривіальних розв'язків.
Випадок І нарешті останнє. Загальний розв'язок рівняння в такому разі виглядає:
Крайові умови дають
Якщо , то і в цьому випадку буде . Ми шукаємо нетривіальні розв'язки, тому і
або , де , тому що за умовою .
Отже, нетривіальні розв'язки задачі можливі лише при значеннях
Цим власним значенням відповідають власні функції
де - довільна стала.
Надалі будемо надавати n тільки додатні значення, оскільки при від'ємних n дістанемо розв'язки, які мають такий самий вигляд (адже - довільні сталі, які можуть мати будь-який знак).
Знаходимо T(t) Підставивши знайдені значення в , дістанемо рівняння
загальний розв'язок якого має вигляд
де та - довільні сталі.
Частинні розв'язки
Підставивши і в знайдемо частинні розв'язки рівняння , які задовольняють крайові умови . При цьому кожному значенню буде відповідати розв'язок
Введемо позначення . Тоді можна записати у вигляді
Функції задовольняють початкові умови вихідної задачі тільки для окремих випадків початкових функцій і .
За допомогою розв'язків побудуємо розв'язок, який задовольняє початкові умови . Розв'язок рівняння , який задовольняє умови і шукатимемо у вигляді ряду:
Якщо ряд збігається рівномірно, і його можна двічі продиференціювати по x і по t почленно, то сума ряду буде задовольняти рівняння і крайові умови . Поставимо вимогу, щоб функція , яка визначена рядом задовольняла початкові умови :
Ряд Фур'є
Припустимо, що функції і задовольняють умови розкладу в w:ряд Фур'є за синусами на проміжку (0,l). Тоді
Порівняння рядів і з формулами показує, що для виконання початкових умов треба покласти
Таким чином розв'язок задачі -, одержаний методом відокремлення змінних, має вигляд
Це був розв'язок однорідного рівняння гіперболічного типу. І хоча це не всі класи рівнянь, але спосіб яким розв'язано це - найзагальніший, і входить у розв'язки багатьох інших. Проте людина, яка оцифровувала цю методичку вже здала сесію, і іде готуватись до наступної, тому продовження читайте з тридцятої сторінки методички зі списку літератури. Формула (19).
Література Методичні розробки до вивчення нормативного курсу "Рівняння математичної фізики" (класифікація рівнянь другого порядку, формули Даламбера і Пуассона, метод відокремлення змінних) для студентів факультету кібернетики. Упоряд. С.О.Войцеховський, В.І.Гаркуша, М.П.Копистра та ін.- Київ, 2001 р. 65 с.