Симплектична матриця — в лінійній алгебрі квадратна матриця, порядок якої є парним числом, що є матрицею лінійного перетворення на симплектичному просторі, що зберігає симплектичну форму. Відповідне лінійне перетворення теж називається симплектичним.
Симплектичні перетворення і матриці є важливими в симплектичній геометрії, а також теорії груп Лі. Група всіх симплектичних матриць заданого порядку утворюють групу Лі, що називається симплектичною групою.
Означення Нехай — симплектичний векторний простір і — його симплектична форма, тобто невироджена кососиметрична білінійна форма. Лінійне перетворення називається симплектичним, якщо Матриця називається симплектичною, якщо вона є матрицею деякого симплектичного перетворення.
На просторі завжди можна вибрати базис, в якому де і — координати веторів і у цьому базисі. Якщо ввести на скалярний добуток при тих же позначеннях, то отримується рівність: де — блочна матриця виду
Визначник матриці рівний 1 і для неї справедливими є рівності
З цих властивостей можна отримати еквівалентне означення симплектичної матриці: матриця називається симплектичною, якщо для неї виконується рівність:
Для комплексних матриць зустрічаються різні означення симплектичних матриць, зокрема означення може бути таким, як і в попередній формулі в дійсному випадку або замість транспонування може використовуватися ермітове спряження
Властивості З формули і властивостей визначника відразу отримується результат, що Насправді для всіх симплектичних матриць Якщо M матриця розмірності 2n×2n то її можна записати у виді
де A, B, C, D є матрицями розмірності n×n. Умова симплектичності M є еквівалентною умовам
З попереднього випливає, що квадратна матриця порядку 2 є симплектичною тоді і тільки тоді коли її визначник рівний 1. В попередніх позначеннях обернена матриця рівна
При заміні базису, що задається матрицею , відбувається перетворення матриці
і нові симплектичні матриці пов'язані зі старими через перетворення.
Для додатноозначеної дійсної симплектичної матриці існує матриця у множині , для якої де діагональні елементи матриці є власними значеннями матриці ."Symplectic Group".
Для довільної дійсної симплектичної матриці полярний розклад рівний :
Довільна дійсна симплектична матриця є добутком трьох матриць: such де і є одночасно симплектичними і ортогональними і є додатноозначеною і діагональною. Section 1.3..
Див. також Симплектичний простір
Примітки
Джерела