В математиці симплектичною групою називають групу симплектичних відображень чи еквівалентно симплектичних матриць на симплектичному векторному просторі над деяким полем. У випадку поля комплексних чисел так також називають певні компактні підгрупи груп симплектичних матриць (інші назви цієї групи — унітарні чи компактні симплектичні групи).

Симплектичні групи є прикладами так званих класичних груп. Вони мають широке застосування у геометрії, фізиці, теорії груп Лі (зокрема компактні симплектичні групи є однією з чотирьох нескінченних послідовностей груп, які разом з п'ятьма винятковими групами є основою для класифікації всіх компактних груп Лі).

Означення В загальному випадку симплектичною групою для модуля з заданою на ньому симплектичною (кососиметричною і білінійною) формою над комутативним кільцем називається група автоморфізмів, що не змінюють дану симетричну форму.

Особливе значення має випадок, коли є полем і — невиродженою симплектичною формою. Тоді група лінійних перетворень породжується лінійними перетвореннями , що рівні Кожне з цих перетворень очевидно зберігає значення симплектичної форми.

Еквівалентно симплектичну групу порядку 2n можна означити як групу матриць, що задовольняють умову де

Симплектичну групу порядку 2n над полем позначають або іноді В даній статті використовуватиметься перше позначення.

Властивості Визначники всіх симплектичних матриць рівні 1, тобто симплектична група є підгрупою спеціальної лінійної групи. Центром групи для полів характеристики 2 є матриця а для інших полів центр складається з матриць і Факторгрупа по центру групи називається проективною симплектичною групою. Ці групи є простими окрім груп де —поле p q елементів. Порядок групи рівний

Алгебра Лі групи (як алгебраїчної групи) є алгебра матриць , для яких виконується рівність: де — матриця описана вище. Еквівалентно матриці з цієї алгебри Лі це матриці, які можна записати у блочному виді:

де всі блоки є квадратними матрицями порядку n і і є симетричними матрицями.

Дійсні комплексні симплектичні групи Лі Серед усіх симплектичних груп особливе значення мають групи симплектичних груп над полем дійсних чисел і симплектичних груп над полем комплексних чисел. Усі ці групи для довільних порядків є групами Лі. Вони задовольняють таким властивостям: є простою групою Лі (зокрема її алгебра Лі є простою), однозв'язною, некомпактною. Її розмірність як комплексного многовида рівна n(2n + 1), розмірність як дійсного аналітичного многовида відповідно 2n(2n + 1). Алгебри Лі комплексних симплектичних груп, що позначаються утворюють нескінченну послідовність простих алгебр Лі, що є однією з чотирьох нескінченних серій простих алгебр Лі, що разом з п'ятьма виключними алгебрами Лі вичерпують множину всіх простих алгебр Лі. є простою некомпактною зв'язаною але не однозв'язною групою Лі. має тип гомотопії групи тож її фундаментальна група рівна Алгебра Лі є дійсною формою алгебри Лі тобто комплексифікація алгебри рівна Як многовид є дифеоморфним добутку Довільний елемент групи є добутком двох елементів, що є образами експоненти, тобто

Групи Sp(p,q) Окрім групи іншими дійсними формами групи (тобто підгрупами комплексифікація алгебр Лі для яких є рівною ) є групи, що позначаються де

Елементами групи є матриці з , що залишають незмінними ермітові форми виду де є рівним 1 для або і є рівним -1 для всіх інших значень i.

Група є ізоморфною групі лінійних перетворень векторного простору (де ) над тілом кватерніонів що зберігають незмінною кватерніонну ермітову форму, тобто форму виду:

де — координати векторів кватерніонів, а риска зверху означає спряження в тілі кватерніонів.

Група Sp(n) Серед груп найважливішими є групи , які переважно позначають Ці групи теж часто називають симплектичними, хоча вони не є такими згідно означення даного вище. Вони мають наступні властивості тому для часто також використовується позначення В тих же позначеннях, що і вище група є ізоморфною групі лінійних перетворень кватерніонного векторного простору, що зберігають незмінними ермітові форми тобто є компактною однозв'язною простою дійсною групою Лі, розмірність якої рівна n(2n + 1). Її алгебра Лі є єдиною компактною дійсною формою алгебри Якщо розглядати як групу кватерніонних унітарних матриць, то її алгебра Лі є алгеброю кватерніонних матриць для яких виконуються умови де — матриця отримана транспонуванням і кватерніонним спряженням. Дужками Лі при цьому є комутатор матриць Групи утворюють одну з чотирьох нескінченних серій компактних простих однозв'язних груп Лі, які є ключовими для класифікації всіх компактних груп Лі. Як дійсний многовид є дифеоморфним добутку

Основні властивості груп , і подані у таблиці нижче: МатриціГрупа ЛіDim/ℝDim/ℂКомпактністьπ1Sp(2n,ℝ)ℝдійснаn(2n + 1)–ℤSp(2n,ℂ)ℂкомплексна2n(2n + 1)n(2n + 1)1Sp(n)ℍдійснаn(2n + 1)–x1

Див. також Симплектична матриця

Посилання "Symplectic group" , Encyclopedia of Mathematics

Література

.