Максимальний тор зв'язаної дійсної групи Лі — зв'язана компактна комутативна підгрупа Лі в , що не міститься в жодній більшій підгрупі такого типу.
Властивості Як група Лі, максимальний тор є ізоморфним прямому добутку декількох копій (мультиплікативної групи всіх комплексних чисел, рівних по модулю ). Будь-який максимальний тор групи міститься в максимальній компактній підгрупі групи ; Максимальний тор є також максимальною абелевою підгрупою але обернене твердження не є справедливим. Будь-які два максимальних тора групи (так само, як і будь-які дві її максимальні компактні підгрупи) є спряженими в . Відповідно всі максимальні тори мають однакову розмірність, яку називають рангом групи
Випадок компактних груп Лі
Нехай тепер є компактною групою. Об'єднання всіх максимальних торів групи є рівним всій групі , перетин всіх максимальних торів групи є рівним центру групи . Алгебра Лі максимального тора є максимальною комутативною підалгеброю в алгебрі Лі групи . Більш того, будь-яка максимальна комутативна підалгебра в є алгеброю Лі деякого максимального тора. Дана максимальна комутативна підалгебра Лі є підалгеброю Картана. Централізатор максимального тора в збігається з . Приєднане представлення максимального тора в є діагоналізовним і всі ненульові ваги цього представлення утворюють систему коренів у просторі де — група характерів тора.
Див. також Підалгебра Картана
Література Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М., 1970 Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, 3 изд. — М., 1973 Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ. — М., 1964