Przykłady zastosowania Funkcja homograficzna gdzie jest homeomorfizmem przestrzeni na siebie. Przekształcenie to jest konforemne we wszystkich punktach . Każda funkcja meromorficzna w jest funkcją wymierną. Niech będzie krzywą gładką, a funkcją ciągłą na Wtedy funkcja
jest funkcją holomorficzną na zbiorze równą zero w .
Rozszerzony zbiór liczb zespolonych Rozszerzony zbiór liczb zespolonych zawiera wszystkie liczby zespolone oraz ∞. Zbiór ten można zapisać jako i często jest oznaczany przez ozdobienie litery jakimś symbolem np.:
Rozszerzony zbiór liczb zespolonych jest utożsamiany geometrycznie ze sferą Riemanna.
Operacje arytmetyczne Dodawanie liczb zespolonych można rozszerzyć przez zdefiniowanie
dla dowolnej liczby zespolonej
Mnożenie można rozszerzyć przez zdefiniowanie
dla wszystkich liczb zespolonych oprócz zera. Należy jednak zauważyć, że operacje i pozostają nieokreślone.
W przeciwieństwie do liczb zespolonych, rozszerzony zbiór liczb zespolonych nie jest ciałem, ponieważ ∞ nie ma liczby odwrotnej. Niemniej jednak zwyczajowo definiuje się w zbiorze dzielenie jako
dla wszystkich liczb zespolonych oprócz zera.