Funkcje wymierne Na sferze Riemanna każda funkcja wymierna może być rozszerzona do funkcji ciągłej. W szczególności, jeśli jest liczbą zespoloną taką, że mianownik natomiast licznik to można zdefiniować, że Ponadto można zdefiniować jako granicę
Przykład: mając daną funkcję
można zdefiniować ponieważ mianownik wynosi zero dla i ponieważ Dzięki tym definicjom, funkcja staje się funkcją ciągłą odwzorowującą sferę Riemanna na sferę Riemanna.
Gdy rozpatrujemy sferę Riemanna jako rozmaitość zespoloną okazuje się, że funkcje wymierne są funkcjami holomorficznymi odwzorowującymi ją na siebie.
Rozmaitość zespolona Sferę Riemanna można uznać za jednowymiarową rozmaitość zespoloną, którą można opisać za pomocą dwóch map o przekształceniach w płaszczyznę zespoloną Niech i są zespolonymi współrzędnymi na Można utożsamiać niezerowe wartości z niezerowymi wartościami korzystając z przekształceń przejścia
Ponieważ przekształcenia przejścia są holomorficzne, definiują one rozmaitość zespoloną nazywaną sferą Riemanna.