En mecànica quàntica, el teorema de Kochen-Specker (KS), també conegut com a teorema de Bell-KS, és un teorema "sense execució" demostrat per John S. Bell el 1966 i per Simon B. Kochen i Ernst Specker el 1967. Imposa certes restriccions als tipus permesos de teories de variables ocultes, que intenten explicar les prediccions de la mecànica quàntica d'una manera independent del context. La versió del teorema demostrada per Kochen i Specker també va donar un exemple explícit per a aquesta restricció en termes d'un nombre finit de vectors d'estat.
El teorema de Kochen-Specker és un complement del teorema de Bell. Mentre que el teorema de Bell establia la no-localitat com una característica de qualsevol teoria de variables ocultes que recuperi les prediccions de la mecànica quàntica, el teorema de Kochen-Specker establia la contextualitat com una característica inevitable d'aquestes teories.
El teorema demostra que hi ha una contradicció entre dues suposicions bàsiques de les teories de variables ocultes destinades a reproduir els resultats de la mecànica quàntica: que totes les variables ocultes corresponents als observables de la mecànica quàntica tenen valors definits en qualsevol moment donat, i que els valors d'aquestes variables són intrínsecs i independents del dispositiu utilitzat per mesurar-les. La contradicció és causada pel fet que els observables de la mecànica quàntica no han de ser commutatius. Resulta impossible integrar simultàniament totes les subàlgebres commutatives de l'àlgebra d'aquests observables en una àlgebra commutativa, assumida que representa l'estructura clàssica de la teoria de variables ocultes, si la dimensió de l'espai de Hilbert és almenys tres.
El teorema de Kochen-Specker exclou les teories de variables ocultes que assumeixen que els elements de la realitat física poden ser representats de manera consistent simultàniament pel formalisme de l'espai de Hilbert de la mecànica quàntica, sense tenir en compte el context d'un marc particular (tècnicament, una descomposició projectiva de l'operador identitat) relacionat amb l'experiment o el punt de vista analític en qüestió. Tal com ho expressen sucintament Isham i Butterfield, (sota la suposició d'un espai mostral probabilístic universal com en les teories de variables ocultes no contextuals), el teorema de Kochen-Specker "afirma la impossibilitat d'assignar valors a totes les quantitats físiques i, alhora, preservar les relacions funcionals entre elles".
Història El teorema KS és un pas important en el debat sobre la (in)completitud de la mecànica quàntica, impulsat el 1935 per la crítica a la suposició de completitud de Copenhaguen a l'article d'Einstein, Podolsky i Rosen, creant l'anomenada paradoxa EPR. Aquesta paradoxa es deriva de la suposició que un resultat de mesurament mecànic-quàntic es genera de manera determinista com a conseqüència de l'existència d'un element de la realitat física que se suposa que és present abans del mesurament com a propietat de l'objecte microscòpic. A l'article de l'EPR es va assumir que el valor mesurat d'un observable mecànic-quàntic pot tenir el paper d'aquest element de la realitat física. Com a conseqüència d'aquesta suposició metafísica, la crítica a l'EPR no va ser presa gaire seriosament per la majoria de la comunitat física. A més, en la seva resposta Bohr havia assenyalat una ambigüitat a l'article de l'EPR, en el sentit que assumeix que no es pot suposar que res hauria canviat en els resultats distants dels mesuraments canviant la base de mesura local, fins i tot si tot el context universal fos diferent. Segons Bohr, tenir en compte la contextualitat derivada de l'ordenació de mesura invalidaria el raonament EPR. Posteriorment, Einstein va observar que la confiança de Bohr en la contextualitat implica la no-localitat ("acció fantasmagòrica a distància"), i que, en conseqüència, caldria acceptar la incompletitud si es volia evitar la no-localitat.
A les dècades del 1950 i del 1960, es van obrir dues línies de desenvolupament per a aquells que no eren reticents a la metafísica, ambdues línies millorant un teorema "sense rumb" presentat per von Neumann, que pretenia demostrar la impossibilitat que les teories de variables ocultes donessin els mateixos resultats que la mecànica quàntica. Primer, Bohm va desenvolupar una interpretació de la mecànica quàntica, generalment acceptada com una teoria de variables ocultes que fonamenta la mecànica quàntica. La no localitat de la teoria de Bohm va induir Bell a assumir que la realitat quàntica no és local, i que probablement només les teories locals de variables ocultes discrepen de la mecànica quàntica. Més important encara, Bell va aconseguir elevar el problema del nivell de la metafísica a la física derivant una desigualtat, la desigualtat de Bell, que es pot provar experimentalment.
Una segona línia és la de Kochen-Specker. La diferència essencial respecte a l'enfocament de Bell és que la possibilitat de fonamentar la mecànica quàntica mitjançant una teoria de variables ocultes es tracta independentment de qualsevol referència a la localitat o la no localitat, però en canvi es fa una restricció més forta que la localitat, és a dir, que les variables ocultes estan associades exclusivament amb el sistema quàntic que es mesura; cap està associada amb l'aparell de mesura. Això s'anomena suposició de no contextualitat. La contextualitat està relacionada aquí amb la compatibilitat dels observables de la mecànica quàntica, i la incompatibilitat s'associa amb l'exclusivitat mútua dels acords de mesura. El teorema de Kochen-Specker estableix que cap model de variables ocultes no contextual pot reproduir les prediccions de la teoria quàntica quan la dimensió de l'espai de Hilbert és tres o més.
Bell va publicar una demostració del teorema de Kochen-Specker el 1966, en un article que s'havia enviat a una revista abans del seu famós article sobre la desigualtat de Bell, però que es va perdre a l'escriptori d'un editor durant dos anys. Més tard, entre d'altres, Mermin i Peres van donar demostracions considerablement més senzilles que la de Kochen-Specker. Tanmateix, moltes demostracions més senzilles només estableixen el teorema per a espais de Hilbert de dimensió superior, per exemple, a partir de la dimensió quatre.
La primera prova experimental de contextualitat es va dur a terme l'any 2000, i es va aconseguir una versió sense llacunes de detecció, nitidesa i compatibilitat el 2022.
Visió general El teorema KS explora si és possible integrar el conjunt d'observables de mecànica quàntica en un conjunt de quantitats clàssiques, tot i que totes les quantitats clàssiques són mútuament compatibles. La primera observació feta a l'article de Kochen-Specker és que això és possible d'una manera trivial, és a dir, ignorant l'estructura algebraica del conjunt d'observables de mecànica quàntica. De fet, sigui pA(ak) la probabilitat que l'observable A tingui un valor a k, aleshores el producte ΠA pA(ak), pres sobre tots els possibles observables A, és una distribució de probabilitat conjunta vàlida, que dóna totes les probabilitats dels observables de mecànica quàntica prenent marginals. Kochen i Specker assenyalen que aquesta distribució de probabilitat conjunta no és acceptable, ja que ignora totes les correlacions entre els observables. Així, en mecànica quàntica A² té valor a k² si A té valor ak, cosa que implica que els valors d' A i A² estan altament correlacionats.
Més generalment, Kochen i Specker requereixen que per a una funció arbitrària f el valor d'observable satisfà
Si A1 i A2 són observables compatibles (commensurables ), aleshores, de la mateixa manera, hauríem de tenir les dues igualtats següents:
and real, and
El primer d'aquests és un debilitament considerable en comparació amb la suposició de von Neumann que aquesta igualtat s'hauria de complir independentment de si A1 i A2 són compatibles o incompatibles. Kochen i Specker van ser capaços de demostrar que una assignació de valors no és possible ni tan sols sobre la base d'aquestes suposicions més febles. Per fer-ho, van restringir els observables a una classe especial, és a dir, els anomenats observables sí-no, que només tenen valors 0 i 1, corresponents a operadors de projecció sobre els vectors propis de certes bases ortogonals d'un espai de Hilbert.
Sempre que l'espai de Hilbert sigui com a mínim tridimensional, van poder trobar un conjunt de 117 operadors de projecció d'aquest tipus, sense permetre atribuir a cadascun d'ells de manera inequívoca ni el valor 0 ni l'1. En lloc de la demostració força complexa de Kochen i Specker, és més aclaridor reproduir aquí una de les demostracions molt més senzilles que es van donar molt més tard, que utilitza un nombre menor d'operadors de projecció, però només demostra el teorema quan la dimensió de l'espai de Hilbert és com a mínim 4. Resulta que és possible obtenir un resultat similar sobre la base d'un conjunt de només 18 operadors de projecció.
Per fer-ho, n'hi ha prou amb adonar - se que si u₁ , u₂, u₃ i u₃ són els quatre vectors ortogonals d'una base ortogonal a l'espai de Hilbert de quatre dimensions, aleshores els operadors de projecció P₁, P₃ P₃ , P₃ en aquests vectors commuten mútuament (i, per tant, corresponen a observables compatibles, permetent una atribució simultània de valors 0 o 1 ). Com que
d'això es dedueix que
Però des de llavors
es desprèn de = 0 o 1, , que dels quatre valors un ha de ser 1, mentre que els altres tres han de ser 0.
Cabello, ampliant un argument desenvolupat per Kernaghan va considerar 9 bases ortogonals, cada base corresponent a una columna de la taula següent, en què els vectors de base es mostren explícitament. Les bases es trien de manera que cada projector aparegui en exactament dos contextos, establint així relacions funcionals entre contextos.
La demostració habitual del teorema de Bell (desigualtat CHSH) també es pot convertir en una demostració simple del teorema KS en dimensió com a mínim 4. La configuració de Bell implica quatre mesures amb quatre resultats (quatre parells d'una mesura binària simultània a cada ala de l'experiment) i quatre amb dos resultats (les dues mesures binàries a cada ala de l'experiment, sense acompanyament), per tant, 24 operadors de projecció.
Observacions Contextualitat A l'article de Kochen-Specker es discuteix la possibilitat que l'atribució de valor pot dependre del context, és a dir, els observables corresponents a vectors iguals en diferents columnes de la taula no necessàriament tenen valors iguals perquè columnes diferents corresponen a diferents disposicions de mesura. Com que la realitat subquàntica (tal com es descriu a la teoria de variables ocultes) pot dependre del context de mesura, és possible que les relacions entre els observables de la mecànica quàntica i les variables ocultes siguin simplement homomòrfiques en lloc d'isomòrfiques. Això faria obsolet el requisit d'una atribució de valor independent del context. Per tant, el teorema KS només exclou les teories de variables ocultes no contextuals. La possibilitat de contextualitat ha donat lloc a les anomenades interpretacions modals de la mecànica quàntica.
Diferents nivells de descripció