miniatura|350x350px|Superfícies de coordenades de coordenades cilíndriques parabòliques. El cilindre parabòlic vermell correspon a σ=2, mentre que el cilindre parabòlic groc correspon a τ=1. El pla blau correspon a z =2. Aquestes superfícies s'intersequen al punt P (que es mostra com una esfera negra), que té coordenades cartesianes aproximadament (2, −1.5, 2). En matemàtiques, les coordenades cilíndriques parabòliques són un sistema de coordenades ortogonals tridimensional que resulta de projectar el sistema de coordenades parabòliques bidimensional en la perpendicular direcció . Per tant, les superfícies de coordenades són cilindres parabòlics confocals. Les coordenades cilíndriques parabòliques han trobat moltes aplicacions, per exemple, la teoria potencial de les arestes.

Definició bàsica miniatura|250x250px|Sistema de coordenades parabòliques que mostra corbes de constants σ i τ els eixos horitzontal i vertical són les coordenades x i y respectivament. Aquestes coordenades es projecten al llarg de l'eix z, de manera que aquest diagrama es mantindrà per a qualsevol valor de la coordenada z. Les coordenades cilíndriques parabòliques es defineixen en termes de les coordenades cartesianes per:

Les superfícies de constant formen cilindres parabòlics confocals

que s'obren cap a , mentre que les superfícies de constant formen cilindres parabòlics confocals

que s'obren en la direcció oposada, és a dir, cap a . Els focus de tots aquests cilindres parabòlics es troben al llarg de la línia definida per El radi també té una fórmula simple

que resulta útil per resoldre l'equació de Hamilton-Jacobi en coordenades parabòliques per al problema de la força central de la mecànica per la inversa del quadrat; per a més detalls, vegeu l'article sobre el vector de Laplace-Runge-Lenz.

Factors d'escala Els factors d'escala per a les coordenades cilíndriques parabòliques i són:

Elements diferencials L'element infinitesimal del volum és

El desplaçament diferencial ve donat per:

L'àrea normal diferencial ve donada per:

Del Sigui un camp escalar. El gradient ve donat per

El laplacià ve donat per

Sigui un camp vectorial de la forma:

La divergència ve donada per

El rotacional ve donat per

Altres operadors diferencials es poden expressar en les coordenades substituint els factors d'escala en les fórmules generals que es troben en les coordenades ortogonals.

Relació amb altres sistemes de coordenades Relació amb les coordenades cilíndriques :

Vectors unitaris parabòlics expressats en termes de vectors unitaris cartesians:

Harmònics de cilindres parabòlics Com que totes les superfícies de constants , i són conicoides, l'equació de Laplace és separable en coordenades cilíndriques parabòliques. Utilitzant la tècnica de separació de variables, es pot escriure una solució separada de l'equació de Laplace:

i l'equació de Laplace, dividida per , s'escriu:

Com que l'equació és independent de la resta, podem escriure

on és constant. té la solució:

Substituint per , l'equació de Laplace ara es pot escriure:

Ara podem separar les funcions i i introduir una altra per obtenir:

Les solucions d'aquestes equacions són les funcions del cilindre parabòlic

Els harmònics del cilindre parabòlic per a són ara el producte de les solucions. La combinació reduirà el nombre de constants i la solució general de l'equació de Laplace es pot escriure:

Aplicacions Les aplicacions clàssiques de les coordenades cilíndriques parabòliques són en la resolució d'equacions diferencials parcials, com ara l'equació de Laplace o l'equació de Helmholtz, per a les quals aquestes coordenades permeten una separació de variables. Un exemple típic seria el camp elèctric que envolta una placa conductora plana semiinfinita.

Referències

Categoria:Sistemes de coordenades