thumb|Ilustração de uma sequência exata de grupos utilizando diagramas de Euler.|alt=Ilustração de uma sequência exata de grupos usando diagramas de Euler. Cada grupo é representado por um círculo, dentro do qual há um subgrupo que é simultaneamente a imagem do homomorfismo anterior e o núcleo do próximo, devido à condição de sequência exata. Na matemática, uma sequência exata é uma sequência de morfismos entre objetos (por exemplo, grupos, anéis, módulos e, mais genericamente, objetos de uma categoria abeliana) tal que a imagem de um morfismo é igual ao núcleo do seguinte.

Definição No contexto da teoria dos grupos, diz-se que uma sequência

de grupos e homomorfismos de grupos é exata em se . A sequência é denominada exata se for exata em cada para todo , isto é, se a imagem de cada homomorfismo for igual ao núcleo do próximo.

A sequência de grupos e homomorfismos pode ser finita ou infinita.

Uma definição análoga aplica-se a outras estruturas algébricas. Por exemplo, pode-se ter uma sequência exata de espaços vetoriais e transformações lineares, ou de módulos e homomorfismos de módulos. De forma mais geral, o conceito de sequência exata faz sentido em qualquer categoria dotada de núcleos e conúcleos, em especial nas categorias abelianas, onde é largamente empregado.

Casos simples Para compreender a definição, é útil analisar casos elementares em que a sequência é formada por homomorfismos de grupos, é finita e inicia-se ou encerra-se com o grupo trivial. Tradicionalmente, o grupo trivial (juntamente com seu único elemento identidade) é denotado por 0 na notação aditiva (habitual quando os grupos são abelianos) ou por 1 na notação multiplicativa.

Considere a sequência . A imagem da aplicação mais à esquerda é 0. Por conseguinte, a sequência é exata se, e somente se, a aplicação mais à direita (de em ) tiver núcleo igual a ; isto é, se e somente se essa aplicação for um monomorfismo (injetiva). Considere a sequência dual . O núcleo da aplicação mais à direita é . Logo, a sequência é exata se, e somente se, a imagem da aplicação mais à esquerda (de em ) for todo o conjunto ; isto é, se e somente se essa aplicação for um epimorfismo (sobrejetiva). Consequentemente, a sequência é exata se, e somente se, a aplicação de em for simultaneamente um monomorfismo e um epimorfismo (isto é, um bimorfismo), configurando um isomorfismo entre e (a equivalência entre bimorfismo e isomorfismo é válida na categoria dos grupos e, de forma geral, em qualquer categoria exata).

Sequência exata curta Sequências exatas curtas são sequências exatas da forma:Conforme demonstrado acima, para qualquer sequência dessa forma, é um monomorfismo e é um epimorfismo. Além disso, a imagem de coincide com o núcleo de . É instrutivo conceber como um subobjeto de , com realizando a imersão de em , e como o objeto quociente correspondente, , induzindo o isomorfismo canônico:

A sequência exata curtaé dita cindida (ou que cinde) se existir um homomorfismo tal que a composição seja a aplicação identidade em . Segue-se que, caso se trate de grupos abelianos, é isomórfico à soma direta de e :

Sequência exata longa Uma sequência exata qualquer é frequentemente chamada de sequência exata longa para distingui-la do caso particular das sequências curtas.

Uma sequência exata longa é equivalente a uma família de sequências exatas curtas no seguinte sentido: dada uma sequência longa

(1)

com , podemos decompô-la em uma sucessão de sequências curtas:

(2)

onde para cada . Por construção, as sequências em (2) são exatas nos termos (independentemente da exatidão de (1)). Ademais, (1) é uma sequência exata longa se, e somente se, todas as sequências em (2) forem exatas curtas.

Consulte o lema da tecelagem para obter detalhes sobre a reconstrução da sequência exata longa a partir das sequências exatas curtas.

Exemplos

Inteiros módulo dois Considere a seguinte sequência de grupos abelianos:

O primeiro homomorfismo mapeia cada elemento no conjunto dos números inteiros para o elemento em . O segundo homomorfismo associa cada elemento em a um elemento no grupo quociente; isto é, . Aqui, a seta com gancho indica que a aplicação de em é um monomorfismo, e a seta de ponta dupla indica um epimorfismo (a redução módulo 2). Trata-se de uma sequência exata porque a imagem do monomorfismo coincide com o núcleo do epimorfismo. Essencialmente a mesma estrutura pode ser expressa por:

Neste último caso, o monomorfismo é e, muito embora se assemelhe a uma função identidade, não é sobrejetivo (não é um epimorfismo) porque os números ímpares não pertencem a . Contudo, a imagem de sob esse monomorfismo é exatamente o mesmo subconjunto de que a imagem de sob a multiplicação empregada na sequência precedente. Esta última sequência difere na natureza de seu primeiro objeto em relação à anterior, visto que não é o mesmo conjunto que , ainda que ambos sejam isomórficos enquanto grupos.

A primeira sequência pode igualmente ser descrita sem notações especiais para monomorfismos e epimorfismos:

Aqui, 0 representa o grupo trivial, a aplicação de em é a multiplicação por 2, e a aplicação de no grupo quociente é a redução modular dos inteiros. Essa é uma sequência exata porque: a imagem da aplicação é , e o núcleo da multiplicação por 2 é também , logo a sequência é exata no primeiro ; a imagem da multiplicação por 2 é o subgrupo dos pares , e o núcleo da redução módulo 2 é igualmente , de modo que a sequência é exata no segundo a imagem da redução módulo 2 é todo o grupo , e o núcleo da aplicação nula é também , assegurando a exatidão na posição .

A primeira e a terceira sequências decorrem da natureza infinita de . Em contrapartida, não é possível que um grupo finito seja inserido via monomorfismo como um subgrupo próprio de si mesmo. A formulação geral resultante do primeiro teorema do isomorfismo assume a forma:(denotando-se o grupo trivial por 1, dado que não se assume que esses grupos sejam necessariamente abelianos).

Como exemplo concreto de sequência exata com grupos finitos: onde é o grupo cíclico de ordem e é o grupo diedral de ordem , que é um grupo não abeliano.

Interseção e soma de módulos Sejam e dois ideais de um anel . Então:é uma sequência exata de -módulos, onde o homomorfismo mapeia cada elemento no par ordenado da soma direta , e o homomorfismo mapeia cada elemento na diferença .

Esses operadores correspondem a restrições de homomorfismos análogos que estruturam a sequência exata curta:A transposição para os módulos quocientes produz a sequência exata:

Propriedades O lema da cisão estabelece que, para uma sequência exata curtaas seguintes condições são equivalentes: Existe um morfismo tal que é a aplicação identidade em . Existe um morfismo tal que é a aplicação identidade em . Existe um morfismo tal que é a soma direta de e .

Para grupos não comutativos, o lema da cisão não se aplica de modo idêntico, preservando-se apenas a equivalência entre as duas últimas afirmações, com a "soma direta" substituída por um "produto semidireto".

Em ambos os casos, diz-se que tal sequência exata curta cinde (ou é cindida).

O lema da serpente demonstra como um diagrama comutativo com duas linhas exatas produz uma sequência exata mais longa. O lema dos nove é um caso especial deste resultado.

O lema dos cinco fornece os critérios sob os quais o morfismo intermediário em um diagrama comutativo com linhas exatas de cinco termos é um isomorfismo; o lema dos cinco curto é o caso particular aplicável diretamente a sequências exatas curtas.

Lema da tecelagem A relevância das sequências exatas curtas decorre do fato de que qualquer sequência exata pode ser obtida pela sobreposição e intercalação ("tecelagem") de sequências exatas curtas sucessivas. Considere, por exemplo, a sequência exataa qual requer a existência de objetos na categoria de modo que:

Suponha, adicionalmente, que o conúcleo de cada morfismo exista e seja isomórfico à imagem do morfismo seguinte na sequência:(Esta condição verifica-se em diversas categorias fundamentais, incluindo qualquer categoria abeliana; contudo, não se aplica a todas as categorias que admitem sequências exatas — em particular, falha na categoria dos grupos, na qual não é , mas sim o quociente pelo fecho conjugado de ). Obtém-se, assim, um diagrama comutativo no qual todas as diagonais são sequências exatas curtas:

thumb|centro|Diagrama comutativo ilustrando o entrelaçamento de sequências exatas curtas para formar uma sequência exata longa.

A única parte desse diagrama que requer a existência do conúcleo é o objeto e o par de morfismos final . Se existirem um objeto e um morfismo tais que seja exata, a exatidão de fica assegurada. No caso da categoria dos grupos, o fato de ser o núcleo de um homomorfismo sobre implica que ela é um subgrupo normal, coincidindo com seu fecho conjugado; portanto, torna-se isomórfico à imagem do morfismo sucessivo.

Reciprocamente, dada qualquer coleção de sequências exatas curtas sobrepostas, seus termos centrais estruturam uma sequência exata longa de modo idêntico.

Aplicações das sequências exatas Na teoria das categorias abelianas, as sequências exatas curtas constituem uma linguagem natural para expressar propriedades relativas a subobjetos e objetos quocientes.

O problema da extensão resume-se à seguinte indagação: "Dados os termos extremos e de uma sequência exata curta, quais são as configurações possíveis para o termo intermediário ?" Na categoria dos grupos, isso equivale a determinar quais grupos admitem como subgrupo normal com atuando como o grupo quociente associado.

Observe que, em uma sequência exata, a composição mapeia em 0 dentro de , de forma que toda sequência exata constitui um complexo de cadeias. Ademais, apenas os elementos da imagem de são levados a 0 por , implicando que a homologia desse complexo é trivial. Em termos diretos: As sequências exatas coincidem precisamente com os complexos de cadeias que são acíclicos. Diante de qualquer complexo de cadeias, sua homologia quantifica a extensão na qual o complexo deixa de ser exato.

Se tomarmos uma sequência de complexos de cadeias vinculados por sequências exatas curtas (isto é, uma sequência exata curta de complexos de cadeias), a aplicação do lema do zigue-zague induz uma sequência exata longa em homologia. Essa estrutura manifesta-se recorrentemente na topologia algébrica durante o estudo da homologia relativa, bem como na formulação da sequência de Mayer–Vietoris. Sequências exatas longas decorrentes de sequências exatas curtas caracterizam fundamentalmente o comportamento dos funtores derivados.

Funtores exatos são funtores cuja ação preserva sequências exatas.

Complexo de de Rham O termo "exata" deriva das formas diferenciais exatas no contexto do complexo de de Rham:Para , essa sequência pode ser reescrita por operadores diferenciais clássicos como:onde , e indicam o gradiente, o rotacional e a divergência. A cadeia expressa diretamente as identidades analíticas e do cálculo vetorial.

Uma forma diferencial é dita fechada quando (isto é, ), e é dita exata quando (isto é, ). O complexo de de Rham é uma sequência exata de módulos se, e somente se, toda forma fechada for exata, fundamentando historicamente a utilização do adjetivo "exata" para classificar tais sequências algébricas.

Referências

Bibliografia

Categoria:Álgebra homológica