thumb|Uma função não injetiva e não sobrejetiva do domínio X para o contradomínio Y. A função é não injetora pois há dois elementos do domínio ligados a um mesmo elemento do contradomínio (cor vermelha). A função é não sobrejetiva pois há elementos de Y sem correspondentes em X (cores azul e lilás)
Na matemática, uma função de um conjunto X para um conjunto Y associa a cada elemento de X exatamente um elemento de Y.; as palavras aplicação, mapeamento, transformação, correspondência e operador são por vezes usadas como sinônimos. O conjunto X é chamado de domínio da função e o conjunto Y é chamado de contradomínio da função.
As funções foram originalmente a idealização de como uma quantidade variável depende de outra quantidade. Por exemplo, a posição de um planeta é uma função do tempo. Historicamente, o conceito foi elaborado com o cálculo infinitesimal no final do século XVII e, até o século XIX, as funções que eram consideradas eram as diferenciáveis (ou seja, possuíam um alto grau de regularidade). O conceito de uma função foi formalizado no final do século XIX em termos da teoria dos conjuntos, o que ampliou enormemente as possíveis aplicações do conceito.
Uma função é frequentemente denotada por uma letra como f, g ou h. O valor de uma função f num elemento x de seu domínio (isto é, o elemento do contradomínio que está associado a x) é denotado por f(x); por exemplo, o valor de f em x = 4 é denotado por f(4). Comumente, uma função específica é definida por meio de uma expressão dependente de x, como neste caso, algum cálculo, chamado de , pode ser necessário para deduzir o valor da função num valor particular; por exemplo, se então
Dados o seu domínio e o seu contradomínio, uma função é univocamente representada pelo conjunto de todos os pares (x, f(x)), chamado de gráfico da função, um meio popular de ilustrar a função.Esta definição de "gráfico" refere-se a um conjunto de pares de objetos. Gráficos, no sentido de diagramas, são mais aplicáveis a funções dos números reais para si mesmos. Todas as funções podem ser descritas por conjuntos de pares, mas pode não ser prático construir um diagrama para funções entre outros conjuntos (como conjuntos de matrizes). Quando o domínio e o contradomínio são conjuntos de números reais, cada um desses pares pode ser pensado como as coordenadas cartesianas de um ponto no plano.
As funções são amplamente utilizadas na ciência, na engenharia e na maioria dos campos da matemática. Diz-se que as funções são "os objetos centrais de investigação" na maioria dos campos da matemática.
O conceito de uma função evoluiu significativamente ao longo dos séculos, desde suas origens informais na matemática antiga até sua formalização no século XIX. Veja História do conceito de função para mais detalhes.
Definição
thumb|right|Representação esquemática de uma função descrita metaforicamente como uma "máquina" ou "caixa preta" que para cada entrada produz uma saída correspondente thumb|right|A curva vermelha é o gráfico de uma função, porque qualquer linha vertical tem exatamente um ponto de cruzamento com a curva.
Uma função f de um conjunto X para um conjunto Y é uma atribuição de um elemento de Y a cada elemento de X. O conjunto X é chamado de domínio da função e o conjunto Y é chamado de contradomínio da função.
Se o elemento y em Y é atribuído a x em X pela função f, diz-se que f mapeia x em y, e isso é comumente escrito como Nesta notação, x é o argumento ou variável da função.
Um elemento específico x de X é um valor da variável, e o elemento correspondente de Y é o valor da função em x, ou a imagem de x sob a função. A imagem de uma função, às vezes chamada de sua imagem (ou conjunto imagem), é o conjunto das imagens de todos os elementos no domínio.
Uma função f, seu domínio X e seu contradomínio Y são frequentemente especificados pela notação Pode-se escrever em vez de , onde o símbolo (lê-se 'mapeia em') é usado para especificar onde um elemento particular x no domínio é mapeado por f. Isso permite a definição de uma função sem nomeá-la. Por exemplo, a função quadrática (função quadrado) é a função
O domínio e o contradomínio nem sempre são dados explicitamente quando uma função é definida. Em particular, é comum que se possa saber apenas, sem algum cálculo (possivelmente difícil), que o domínio de uma função específica está contido num conjunto maior. Por exemplo, se é uma função real, a determinação do domínio da função requer conhecer os zeros de f. Esta é uma das razões pelas quais, na análise matemática, "uma função de X para Y" pode referir-se a uma função tendo um subconjunto próprio de X como um domínio.O verdadeiro domínio de tal função é frequentemente chamado de domínio de definição da função. Por exemplo, uma "função dos reais para os reais" pode referir-se a uma função de valores reais de uma variável real cujo domínio é um subconjunto próprio dos números reais, tipicamente um subconjunto que contém um intervalo aberto não vazio. Tal função é então chamada de função parcial.
Uma função f num conjunto S significa uma função do domínio S, sem especificar um contradomínio. No entanto, alguns autores usam isso como abreviação para dizer que a função é f : S → S.
Definição formal
thumb|Diagrama de uma função thumb|Diagrama de uma relação que não é uma função. Um motivo é que o 2 é o primeiro elemento em mais de um par ordenado. Outro motivo é que nem o 3 nem o 4 são o primeiro elemento (entrada) de nenhum par ordenado
A definição de função acima é essencialmente a dos fundadores do cálculo, Leibniz, Newton e Euler. No entanto, ela não pode ser formalizada, pois não há uma definição matemática para uma "atribuição". Foi apenas no final do século XIX que a primeira definição formal de uma função pôde ser fornecida, em termos da teoria dos conjuntos. Essa definição teórica de conjuntos é baseada no fato de que uma função estabelece uma relação entre os elementos do domínio e alguns (possivelmente todos) elementos do contradomínio. Matematicamente, uma relação binária entre dois conjuntos X e Y é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados tais que e O conjunto de todos esses pares é chamado de produto cartesiano de X e Y e denotado por Assim, a definição acima pode ser formalizada da seguinte maneira.
Uma função com domínio X e contradomínio Y é uma relação binária R entre X e Y que satisfaz as duas seguintes condições: Para todo em existe em tal que Se e então
Essa definição pode ser reescrita de forma mais formal, sem se referir explicitamente ao conceito de uma relação, mas usando mais notações (incluindo a notação de construtor de conjuntos):
Uma função é formada por três conjuntos (muitas vezes como um trio ordenado), o domínio o contradomínio e o gráfico que satisfazem as três seguintes condições.
Uma relação que satisfaz essas condições é chamada de relação funcional.
A terminologia e notação mais usuais podem ser derivadas desta definição formal da seguinte maneira. Seja f uma função definida por uma relação funcional R. Para cada x no domínio de f, o elemento único do contradomínio que está relacionado a x é denotado por f(x). Se y é este elemento, escreve-se comumente y=f(x) em vez de ou xRy, e diz-se que "f mapeia x em y", "y é a imagem por f de x", ou "a aplicação de f em x resulta em y", etc.
Funções parciais
As funções parciais são definidas de forma semelhante às funções comuns, com a condição "total" removida. Ou seja, uma função parcial de X para Y é uma relação binária R entre X e Y tal que, para cada há no máximo um y em Y tal que
Usando a notação funcional, isso significa que, dado ou está em Y, ou é indefinido.
O conjunto dos elementos de X tais que é definido e pertence a Y é chamado de domínio de definição da função. Uma função parcial de X para Y é, portanto, uma função comum que tem como seu domínio um subconjunto de X chamado de domínio de definição da função. Se o domínio de definição for igual a X, costuma-se dizer que a função parcial é uma função total.
Em várias áreas da matemática, o termo "função" refere-se a funções parciais em vez de funções comuns (totais). Este é tipicamente o caso quando as funções podem ser especificadas de uma maneira que torna difícil ou até mesmo impossível determinar seu domínio.
No cálculo, uma função de valor real de uma variável real ou função real é uma função parcial do conjunto dos números reais para si mesmo. Dada uma função real , o seu inverso multiplicativo também é uma função real. A determinação do domínio de definição de um inverso multiplicativo de uma função (parcial) equivale a calcular os zeros da função, os valores onde a função é definida, mas não o seu inverso multiplicativo.
De forma semelhante, uma função de uma variável complexa é geralmente uma função parcial cujo domínio de definição é um subconjunto dos números complexos . A dificuldade de determinar o domínio de definição de uma função complexa é ilustrada pelo inverso multiplicativo da função zeta de Riemann: a determinação do domínio de definição da função é mais ou menos equivalente à prova ou refutação de um dos maiores problemas em aberto da matemática, a hipótese de Riemann.
Na teoria da computabilidade, uma função recursiva geral é uma função parcial dos inteiros para os inteiros cujos valores podem ser calculados por um algoritmo (grosso modo). O domínio de definição de tal função é o conjunto de entradas para as quais o algoritmo não roda indefinidamente. Um teorema fundamental da teoria da computabilidade é que não pode existir um algoritmo que tome uma função recursiva geral arbitrária como entrada e teste se 0 pertence ao seu domínio de definição (veja Problema da parada).
Funções multivariadas thumb|Uma operação binária é um exemplo típico de uma função bivariada que atribui a cada par o resultado
Uma função multivariada, função multivariável, ou função de várias variáveis é uma função que depende de vários argumentos. Tais funções são comumente encontradas. Por exemplo, a posição de um carro em uma estrada é uma função do tempo de viagem e de sua velocidade média.
Formalmente, uma função de n variáveis é uma função cujo domínio é um conjunto de n-tuplas.n também pode ser 1, englobando assim as funções conforme definidas acima. Para n = 0, cada constante é um caso especial de uma função multivariada, também. Por exemplo, a multiplicação de inteiros é uma função de duas variáveis, ou função bivariada, cujo domínio é o conjunto de todos os pares ordenados (2-tuplas) de inteiros, e cujo contradomínio é o conjunto dos inteiros. O mesmo é válido para toda operação binária. O gráfico de uma superfície bivariada sobre um domínio real bidimensional pode ser interpretado como definindo uma superfície paramétrica, como usado em, por exemplo, interpolação bivariada.
Comumente, uma n-tupla é denotada entre parênteses, como em Ao usar a notação funcional, costuma-se omitir os parênteses em torno das tuplas, escrevendo em vez de
Dado n conjuntos o conjunto de todas as n-tuplas tais que é chamado de produto cartesiano de e denotado por
Portanto, uma função multivariada é uma função que tem um produto cartesiano ou um subconjunto próprio de um produto cartesiano como domínio.
onde o domínio U tem a forma
Se todos os são iguais ao conjunto dos números reais ou ao conjunto dos números complexos, fala-se respectivamente de uma função de várias variáveis reais ou de uma função de várias variáveis complexas.
Notação
Existem várias formas padrão para denotar funções. A notação mais comumente usada é a notação funcional, que é a primeira notação descrita abaixo.
Notação funcional A notação funcional exige que um nome seja dado à função, o qual, no caso de uma função não especificada, é frequentemente a letra f. Em seguida, a aplicação da função a um argumento é denotada pelo seu nome seguido do seu argumento (ou, no caso de funções multivariadas, de seus argumentos) entre parênteses, como em