Гиперболическая ортогональность — понятие в Евклидовой геометрии. Две линии называются гиперболически ортогональными, когда они являются отражением друг от друга по асимптоте данной гиперболы.

На плоскости часто используются две особые гиперболы: (A) xy = 1 при y = 0 как асимптота. При отражении по оси x, линия y = mx становится y = -mx . В этом случае линии являются гиперболическими ортогональными, если их угловые коэффициенты являются противоположными числами.

(B) x2 — y2 = 1 при y = x как асимптота. Для линий y = mx при −1 < m < 1, когда x = 1/m, то y = 1. Точка (1/m , 1) на линии отражается через y = x в (1, 1/m). Поэтому отраженная линия имеет наклон 1/m, а угловые коэффициенты гиперболических ортогональных линий — обратные друг для друга.

Отношение гиперболической ортогональности фактически применяется к классам параллельных прямых на плоскости, где любая конкретная линия может представлять класс. Таким образом, для данной гиперболы и асимптоты A пара прямых (a, b) являются гиперболическими ортогональными, если существует пара (c, d) такая, что , а c — это отражение d через A.

Свойство радиуса, ортогонального к касательной на кривой, расширяется от круга на гиперболу при помощи понятия гиперболической ортогональности.Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass — A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry , ICME-10 Copenhagen; pages 6 & 7.

С момента появления в 1908 году пространства-времени Минковского была введена концепция гиперболически ортогональных к линии времени (касательная к мировой линии) точек в плоскости пространства-времени, для определения одновременности событий относительно заданной линии времени. В исследовании Минковского используется гипербола типа (B). Различные английские переводы на Wikisource: Space and Time Два вектора являются нормальными (в смысле гиперболической ортогональности) когда

Где c = 1, y и z равны нулю, x ≠ 0, t1 ≠ 0, то .

В аналитической геометрии для описания ортогональности используется билинейная форма, причем два элемента ортогональны, когда их билинейная форма обращается в нуль. В плоскости комплексных чисел , билинейная форма есть , тогда как в плоскости гиперболических чисел билинейная форма есть Два вектора z1 и z2 в комплексной плоскости, и w1 и w2 в гиперболической плоскости называются соответственно евклидово ортогональными и гиперболически ортогональными, если их соответствующие внутренние произведения билинейных форм равны нулю.Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane , also published in College Mathematics Journal 26:268-80.

Для данной гиперболы с асимптотой А, ее отражение в А дает сопряженную гиперболу. Любой диаметр исходной гиперболы отражается в . В теории относительности направления, заданные сопряженными диаметрами, берутся в качестве пространственных и временных осей.

Как писал E. Т. Уиттакер в 1910 году, «гипербола не изменяется, если любая пара сопряженных диаметров принимается за новые оси, а новая единица длины берется пропорционально длине любого из этих диаметров».E. T. Whittaker (1910) A History of the theories of aether and electricity Dublin: Longmans, Green and Co. (see page 441) На этом принципе относительности он затем написал преобразования Лоренца в современной форме с использованием понятия быстрота.

Эдвард Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис разработали концепцию в рамках синтетической геометрии в 1912 году. Они отмечают, что «в нашей плоскости ни одна пара перпендикулярных гиперболически-ортогональных линий не подходит в качестве осей координат лучше, чем любая другая пара»Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) «The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics» Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507, esp. 415

Понятие гиперболической ортогональности возникло в аналитической геометрии с учетом сопряженных диаметров эллипсов и гипербол.Barry Spain (1957) Analytical Conics , ellipse § 33, page 38 and hyperbola § 41, page 49, from Hathi Trust Если g и g' представляют собой угловые коэффициенты сопряженных диаметров, то в случае эллипса и в случае гиперболы. Если a = b, эллипс представляет собой окружность, сопряженные диаметры перпендикулярны, гипербола — прямоугольная, а сопряженные диаметры — гиперболически ортогональны.

В терминологии проективной геометрии операция взятия гиперболической ортогональной линии есть инволюция. Предположим, что угловой коэффициент вертикальной линии обозначен как ∞, тогда все линии имеют угловой коэффициент в проективно расширенной числовой прямой. Затем, в зависимости от того, какая из гипербол (A) или (B) используется, операция является примером гиперболической инволюции, где асимптота инвариантна.

Примечания

Литература G. D. Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics, pages 62,3, Harvard University Press. Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space, Birkhäuser Verlag, Basel. See page 38, Pseudo-orthogonality. (1987) Orthogonality and Spacetime Geometry, chapter 1: A Trip on Einstein’s Train, Universitext Springer-Verlag

Категория:Специальная теория относительности Категория:Геометрия