Ruchem drgającym harmonicznym nazywamy drgania, które zależą od częstotliwości kołowej drgań własnych ω i przesunięcia fazowego φ. Drgania te opisujemy względem czasu "t" wzorem:
Ruch pokazany przy pomocy równości , są to ruchy o jednym stopniu swobody. Okresem drgań harmonicznych nazywamy odwrotność częstości ν, którą możemy przepisać przy pomocy definicji częstotliwości kołowej:
Siła kierujące i bezwładność ciała dla drgań o jednym stopniu swobody Ruch harmoniczny jest rezultatem działania dwóch przeciwstawnych czynników, tzn. siły kierującej i bezwładności. Siła kierująca w ruchu harmonicznym usiłuje przywrócić układ do stanu równowagi, a bezwładność jest cechą układu, która przeciwstawia się zmianom ruchu układu.
Drgania tłumione Ruch harmoniczny opisywany wzorem nie jest ruchem tłumionym, bo jego amplituda nie zmienia się w miarę upływu czasu. W ruchu tłumionym, amplituda drgań maleje z czasem. Przykładem drgań gasnących są drgania opisane równością:
Wahadło matematyczne
Wahadłem matematycznym nazywamy układ, w którym ciało o masie M jest zawieszone na nieważkiej nici lub pręcie o długości l. Siłą kierującą w ruchu wahadła jest składowa siły grawitacji prostopadła do nici, jej wartość określa wzór F=Mg sinψ, to z drugiej zasady dynamiki Newtona w tym przypadku wynika:
Funkcję sinus możemy rozłożyć w szereg Taylora, którego zapis dla naszej funkcji jest następujący:
Dla małych kątów ψ, można pominąć wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszym, wówczas równość możemy przestawić :
Rozwiązaniem równania są funkcje harmoniczne w postaci (co udowodnimy poniżej), dla której druga pochodna tego właśnie przypuszczalnego rozwiązania naszej funkcji jest:
Jeśli funkcję wraz podstawimy do wzoru , w ten sposób otrzymamy tożsamość, co dowodzi o harmoniczności ruchu masy M w wahadle matematycznym.
Ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch sprężynek
Rozważmy dwie sprężynki przyczepione do ścianek i połączone ze sobą poprzez masę M. Sprężynki mają znikomą masę. Całkowita siła działająca na masę M jest wyrażona:
Ruch ciężarka możemy opisać drugim prawem dynamiki Newtona, który piszemy:
Ruch ciała M będziemy opisywać funkcją ψ(t), którą definiujemy jako starą funkcję z(t) minus stałą "a", zatem w możemy dokonać zamiany zmiennych według:
Równanie przy pomocy podstawienia , którym występuje poszukiwana funkcja ψ(t) jest zależna od czasu, dla równania, która jest równaniem oscylatora harmonicznego, możemy zapisać w postaci:
Kwadrat częstości kołowej ruchu harmonicznego ciała, a także rozwiązanie ruchu na podstawie i , przestawiamy:
Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn
Rozważmy ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch nieważkich sprężyn. Współczynnik sprężystości sprężyn wynosi K. W położeniu równowagi każda ze sprężyn zostaje napięta do długości a. Opisywany układ może wykonywać dwa rodzaje drgań poprzecznych i jedno drganie podłużne. W stanie równowagi siła działająca na ciało z jednej ze sprężyn jest opisywana:
Opisu drgań podłużnych nie będziemy powtarzać, ponieważ jest zamieszczony w poprzednim rozdziale. W drganiach poprzecznych siła, z jaką pojedyncza sprężyna działa na ciężarek M, jest opisana wzorem:
Z drugiej zasady dynamiki Newtona ruch opisujący drgania poprzeczne jest opisywany przez równanie różniczkowe:
Należy zauważyć, że długość l występująca po prawej stronie wzoru końcowego jest funkcją w ogólności od zmiennej x.
Mała długość swobodna sprężyny jako pierwsze przybliżenie Równanie ruchu ciała o masie M w przybliżeniu małej długości sprężyny, tzn. stosunek długości sprężyny swobodnej a przez długość sprężyny l jest w naszym przypadku tutaj rozważanym wielkością pomijalną. Równanie ruchu przybliżeniu tutaj omawianym jest w postaci:
Wzór uzyskaliśmy na podstawie dokładnego rozwiązania , w której definicja kwadratu częstotliwości kołowej dla przybliżenia małej długości sprężyny przy zachodzącym jest:
Rozwiązaniem równania ruchu jest to równanie zależne od częstotliwości kołowej ω, które jest opisane wzorem . Widzimy, ze zgodnie ze wzorami i , że częstość drgań poprzecznych w naszym przybliżeniu jest równa częstości drgań podłużnych w ruchu drgającym ciała o masie M.
Przybliżenie małych drgań Aby rozwiązać równanie różniczkowe stosowaliśmy przybliżenia małej długości swobodnej sprężyny, wtedy stosunek długości swobodnej sprężyny a do długości aktualnej sprężyny jest względnie mały, których stosunek w takiej sytuacji możemy pominąć. Jeśli tego stosunku nie można pominąć, to możemy powiedzieć, że dla małego ε, względem którego będziemy rozkładali odwrotność długości chwilowej sprężyny w szereg Taylora, który to podstawimy do równania różniczkowego , i pominiemy wyrazy wyższe niż liniowe, w ten sposób dojdziemy do równania różniczkowego, które jest równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego, to co chcieliśmy otrzymać. Zatem napiszmy teraz definicję kwadratu chwilowej długości sprężyny "l" i kwadratu wielkości ε:
Odwrotność długości sprężyny liczymy rozkładając tę odwrotność w szereg Taylora względem zmiennej x, która jest położeniem ciała o masie M:
Wzór podstawiamy do do odjemnika w nawiasie, w ten sposób możemy otrzymać równość zależną od zmiennej x, którego to równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego:
Równanie ruchu możemy przepisać dokonując odpowiednich przekształceń w nawiasie w końcowej wspomnianej tożsamości:
W równaniu ruchu masy M zapisaną w punkcie możemy pominąć wyższe wyrazy niż liniowe przy przybliżeniu małych drgań, by potem wykorzystać wzór :
Kwadrat częstotliwości kołowej ruchu drgającego drgań poprzecznych wynika z równania różniczkowego :
Rozwiązanie równania ruchu przy definicji kwadratu częstotliwości kołowej jest równaniem zapisane w punkcie . Możemy wyznaczyć iloraz częstotliwość drgań podłużnych przez częstotliwość kołową drgań poprzecznych przy oznaczeniu w następującej postaci:
Patrząc na wzór , gdy długość własna sprężyny a jest względnie mała w porównaniu z długością sprężyny w stanie równowagi "a", to częstotliwości kołowe drgań podłużnych i poprzecznych są sobie w przybliżeniu równe.
Obwód LC, czyli solenoid z dwoma kondensatorami
Równanie opisujących układ LC z dwoma kondensatorami o pojemności C i z cewką od indukcji elektrycznej L przestawiamy:
Ładunek Q jest powiązany z ładunkiem Q, a także ten drugi ładunek jest powiązany z natężeniem prądu elektrycznego płynącego w obwodzie:
Równanie możemy tak napisać przy wykorzystaniu tożsamości , które to możemy dalej zróżniczkować obustronnie względem czasu przy wykorzystaniu , wtedy otrzymamy równość różniczkową drugiego stopnia:
Końcowe równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego, którego kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy:
Natężenie prądu elektrycznego, który jest rozwiązaniem równania różniczkowego przestawiamy podobnym wzorem do , jest to równanie w postaci:
Zasada superpozycji i liniowość równań ruchu Omawiane tutaj były przypadki, w których siła kierunkowa była wprost proporcjonalna do ψ(t), natomiast niezależała od wyższych potęg ψ, tzn. ψ,ψ,.... Równanie niezawierające wyższych potęg ψ niż pierwszego stopnia nazywamy równaniem liniowym. Gdy w naszym równaniu występują wyższe potęgi niż pierwszego stopnia, tak powstałe równanie nazywamy nieliniowym. Natomiast, gdy równanie nie zawiera wyrazów z niezależnych od ψ nazywamy równaniem jednorodnym.
Wprowadzenie do równań liniowych jednorodnych Równania liniowe i jednorodne różniczkowe mają tę właściwość, że suma dwóch rozwiązań równania liniowego i jednorodnego też spełnia równanie liniowe i jednorodne, co jest wiadomo. Udowodnimy czy też jest dla równań różniczkowych nieliniowych, że jeśli mamy dwa rozwiązania poniższego równania różniczkowego, to suma ich ma spełniać też to równanie, jak wykażemy co jest jedynie możliwe, gdy mamy równanie różniczkowe liniowe. A oto mamy równość różniczkową w ogólności zależną od wyższych potęg niż pierwszego stopnia:
Weźmy dwa rozwiązania ψ i ψ, które spełniają równanie różniczkowe :
Sumę rozwiązań ψ i ψ też spełnia równanie różniczkowe jak i składowe tejże sumy:
Równanie możemy dodać do do siebie i porównać ze wzorem , w ten sposób otrzymujemy tożsamości:
Równanie i są tożsamościami, tzn. które są zawsze spełnione, a równości i są zawsze spełnione tylko dla α=0 i β=0, zatem co zachodzi tylko dla rozwiązania liniowego przy postawionych warunkach powyżej, to superpozycja rozwiązań równania różniczkowego liniowego jest też rozwiązaniem tego samego równania różniczkowego. Co kończy dowód.
Warunki początkowe a superpozycja rozwiązań Załóżmy, że mamy dwa rozwiązania jako szczególne rozwiązania w chwilach szczególnych ψ(0) i ψ(0), które odpowiadają warunkom brzegowym rozwiązań ψ(t) i ψ(t), a rozwiązania równania będące superpozycją naszych rozwiązań, czyli ψ(t)+ψ(t), odpowiadają warunki brzegowe w postaci: ψ(0)+ψ(0).
Niejednorodne równanie liniowe Wprowadźmy do równania liniowego siłę wymuszającą F(t) zależną od czasu, wtedy po tej operacji otrzymujemy równanie różniczkowe:
Załóżmy, że mamy dwa równania różniczkowe , każde odpowiada innej sile wymuszającej, to superpozycja dwóch rozwiązań spełnia równanie różniczkowe odpowiadające sumie dwóch sił wymuszających w równaniu , tzn. F(t)+F(t).
Wahadło sferyczne W celu zilustrowania zasady superpozycji rozpatrzmy wahadło sferyczne zawieszone na nieważkiej nici, która posiada możliwość ruchu w dowolnym kierunku. Położenie równowagi znajduje się w punkcie x=0 i y=0, co równania ruchu takiego wahadła piszemy:
Powyższe dwa równania są rozdzielone, tzn. każde równanie zależy od innych zmiennych i ich rozwiązania są niezależne i są opisywane wzorami tylko od zmiennej t i są to dwa rozwiązania:
Kwadrat częstotliwości kołowej występujących w rozwiązaniach i wynikających z równań i zapisujemy wzorem .
Układy o dwóch stopniach swobody i jego drgania swobodne Opis układów w ogólnej konfiguracji wymaga znajomości dwóch zmiennych, tzn. ψ i ψ, co oznacza np. ruch wahadła wokół płaszczyzn wzajemnie prostopadłych kierunkach w płaszczyźnie drgań, a w przypadku układów LC, co oznacza, że ψ i ψ oznaczają ładunki na dwóch kondensatorach lub też natężenia prądów elektrycznych. Najbardziej ogólny ruch harmoniczny jest superpozycja dwóch drgań harmonicznych, których jak wiemy też jest w pewnym senie ruchem harmonicznych. Składowe tych rozważanych drgań harmonicznych nazywamy drganiami normalnymi lub drganiami własnymi. Można tak dobrać warunki początkowe, by układ wykonywał jedno lub drugie drganie harmoniczne. Załóżmy, że układ wykonuje drgania z częstotliwościami kołowymi ω i ω. Przesunięcia fazowe dla obu drgań normalnych są sobie równe. Dla obu tychże drgań wychylenia od stanu równowagi są opisywane przez:
Dla drugiej postaci drgań normalnych, zachodzą podobne związki jak w punktach I , tylko jedynkę zamieniamy na dwójkę. W ogólnej konfiguracji wychylenia od położenia równowagi dla ψ i ψ zapisujemy jako superpozycja drgań harmonicznych o częstotliwościach ω i ω:
a dla drugiej zmiennej, tzn. ψ drgania opisujemy:
Wahadło sferyczne jako układ drgający o dwóch stopniach swobody Dla wahadła sferycznego na podstawie równań różniczkowy opisujący te nasze drgania , tzn. równań i dla dwóch niezależnych drgań, tzn. w niezależnych zmiennych, dla którego kwadrat częstotliwości kołowej jest opisywany wzorem , których to wychylenia od stanu równowagi dla tych rozważanych zmiennych są przestawione jako:
Przybliżenie harmoniczne dla dwuwymiarowego układu współrzędnych
Rysunek obok przestawia ruch ciała o masie M przyczepionych do czterech sprężyn o stałych proporcjonalnych K i K, które są przyczepione do odpowiednich ścianek. Masy sprężynek są w przybliżeniu zerowe w porównaniu z masą kulki M. Kulka może wykonywać dwa niezależne drgania wzdłuż osi iksowej i igrekowej lub w postaci złożenia tychże drgań. We wzorach opisujących ruch masy M pomijamy człony x/a, y/a i xy/a. W ten sposób możemy napisać przybliżenie klasyczne małych drgań.